The Root Locus(1)

앞선 바로 직전 포스팅, The Stability of Linear Feedback System 에서는

FeedBack System의 Stability 다루면서 Pole, Zero 위치로 

시스템의 안정성에대해 어떻게 판단할 수 있는지에대한 내용을 주로 다루었다.

 

이번 포스팅에서 다뤄볼 개념은 Root Locus이라는 것인데, 

System의 특정 파라미터 변화에 따라서 System Pole의 위치가 어떻게 변화하는지

Graphical하게 해석하는 방법에대한 내용이다.

 

Root Locus는 Pole의 한점만을 다루는 것이 아니라, 

점이놓이는 모든점, 즉, 선을 다루는 것이기 때문에 그 내용이 조금 복잡하고, 알아야하는 것도 많기에,

3번에 걸쳐서 포스팅을 진행해보려고 한다.

 

이번 포스팅에서는 Root Locus의 개념정도만 가볍게 짚어보도록 하겠다.

 

 

 

 

 

◆ The Root Locus

 

System의 Charateristic Equation의 해,

System의 Pole의 S-Plane상에서의 위치를 통해서,

시스템의 거동(Response)의 '안정성(Stability)'와 'Transient Property(과도특성)'에대해 Characterize할 수 있게된다.

 

시스템을 적절히 Design한다는 것은, Desired Response를 토해내는 시스템을 구축한다는 것이기 때문에,

적절한 System 디자인을 수행하기 위해서는 반드시 시스템의 Pole을 알고 해석해야한다.

Root Locus는 이런 System의 Pole의 위치를 Graphical하게 표현하는 방법을 말한다.

 

앞선 포스팅에서 다루었던 Routh Array는 System의 Stability에대한 판단정도만 (...그것도 Special Case를 나눠서 다소 복잡하게) 내리고 Pole의 Actual Position에 대해서는 다루지 않는 반면,

 

Root Locus는 특정 System Parameter의 변화에 따른 실제 Pole의 위치의 변화를 Graphical하게 표현한다.

=>실제 Pole의 Position을 다루면서 시스템을 해석하는 방식이라는 점에서 Routh table보다 더 자세히 시스템을 해석하는 방식이라고 볼 수 있다.

 

 

이에대해 좀더 자세히 살펴보기 위해서,

아래와같은 Feedback System을 보도록 하자.

즉, 여기서  Characteristic Equation은

System의 Pole이란 위의 Equation의 Root와 같으며,

이때 Root는 System Parameter K (system Parameter는 다양하게 설정가능하다)의 변화에 따라

달라진다. 이런 Pole의 변화추이를 S-Plane상에서 표현한 것이 바로 Root Locus이다.

 

 

* S-Plane Notation (=> Phasor Notation) Characteristic

본격적으로 Root Locus를 보기전,

S-Plane상 Phasor 표기에서의 특징에대해 잠깐 짚고넘어가자.

 

S plane에서 S는 Real Part 와 imaginary part로 구성된 Complex number로,

이를 표현한 Phasor식이 아래와 같을때,

아래의 특성들을 만족한다.

다시, 1+KG(S) = 0으로 넘어와서 살펴보자.

Characteristic Equation  1+KG(S) = 0

이므로, KG(S) = -1 (imaginary part = 0)

즉, 여기서 KG(S)의 각도는 아래처럼

을 만족하는 Root를 찾아야한다.

 

일반적으로 Transfer Function G(s)는 아래와같다

이를 위에서 쓴 Phasor표현에 맞게 다시 표현하면

이말인즉, S-plane에서

Zero가 Real Axis(x축)과 이루는 각도의 합 - Pole이 Real Axis(x축)과 이루는 각도의 합 = -180도, 180도,540도... 

라는 의미와 같다.

 

이를 표현하면,

 

 

 

○ Simple Example Of the Root Locus

간단한 예시를 통해 자세히 살펴보자.

G(s)가 1/s(s+2)이다.

즉, Characteristic Equation은

정리해보면,

이 되고, K의 범위에 따라서

위와같은 관계가 만족된다.

-> 즉, K에 따른 Root Locus는 두개의 점이 이동하는 것처럼 보일 것이다.

 

 

 

이를 Graphical하게 표현하기위해 아래와같이 표현해보자

여기서, 앞서 봤던 Phasor Notation의 특성을 고려해주면,

이므로,

2개의 Pole에대한 식이 완성됐다.

Zero의 개수는 0개이므로, 

에서, 첫번째 항은 0이된다. 즉,

이 조건을 만족하는 Pole의 위치가 된다.

 

 

* 여기서 헷갈리면 안되는 부분은,

지금 보고자 하는 부분은 System Pole의 위치이지 G(S)의 Pole의 위치가 아니라는 점이다.

위의 그림을 살펴보자. G(S)의 두개의 Pole, S = 0, S = -2에서

이조건을 만족하는 Pole의 위치는 0,-1사이에 imaginary Axis와 평행한 직선위에 모든 점들이 된다.

이를 표현하면 아래와같다.

 

 

자, 여기서 K를 고려해보자.

앞서서 이 시스템의 경우,

K에 범위가 1보다 작은경우 Real Axis위에 두개의 Pole이 놓이며,

K가 1보다 큰경우 두개의 imaginary Conjugate Pole을 가진다고 했었다.

 

그리고 System의 Characteristic Equation(NOT G(s))은 2차식으로, 2개의 Pole을 가지므로,

K값에 변화에따라 2개의 Pole이 위의 조건에 맞게 움직인다.

이를 그림으로 표현해보면, 

K가 1일때부터 imaginary Part의 값이 증가하기 시작한다.

즉, K=1일때 S=1인 Reapeated Pole이된다.

 

 

이제 예잔 포스팅에서 다루었던 시스템의 거동상황,

Overdamping, Underdamping, Criticaldamping상황과 이를 엮어서 생각해보자.

 

K>1일 때, 두개의 System Pole은 모두 Real Axis위에 놓이므로, Overdamping,

K<1일 때, 두개의 System Pole은 imaginary Part를 가지게되므로 Under Damping.

그리고 K=1일때, System은 Critically Daming상황이 된다.

 

그리고

Underdamping의 상황에서는 K값이 증가함에 따라서 System index들이 아래와 같이 변한다.

 

앞서 포스팅에서 다루었던 내용에 기반한 것으로. 자세한 설명은 생략하겠다.

 

 

○ General Expression Of Root Locus

지금까지 예시로 다루어본 Root Locus를 좀더 Genral하게 표현해보도록 하자.

FeedBack Loop에서 System의 Transfer Function을 아래와같이 표현할때,

System의 Characteristic Equation의 해를 구하는 공식은,

Gain Component의 Transfer Function을 F(s)라 할때,

이므로,

이어야한다. 즉, 

F(s)의 최종 Phasor Component는 180도이어야 하는데,

F(s)가 System Parameter K를 가지는

형태로 표현될때,

을 만족하려면

여기서 K가 System Component의 Scalar 값이므로, 각도 연산에서는 제외시킨다.

즉,

여기서 System Pole S의 위치는 위의 Angle Condition을 만족하는 모든 선이되며,

K값과 S의 값은 서로 대응되면서 K를알면 S를 알 수 있고, S를 알면 K를 알 수 있다.

 

 

 

 

 

 

여기까지 간단하게 다뤄본 Root Locus의 개념이었다.

 

다음 포스팅에서는 Root Locus를 그리려면 어떤 단계들을 거쳐야하는지 

자세히 살펴보도록 하겠다.