Laplace Transform 정리(1)

 

(1)에서는 Laplace가 왜 필요한지,

모델링 해석에서 어떤식으로 쓰이는지 를 다루고,

(2)에서 그에대한 이론적인 내용과 특성에대해 다뤄보고자 한다.

 

 

 

 

앞서 introduction에서 설명했던 제어시스템의 설명을 가볍게 한번더 짚어보자.

 

어떤 system에 들어가는 signal이있고, 이것이 시스템안에서 다른 Signal로 변환되면서

최종적으로 어떤 한 Output으로 출력된다.

우리가 제어를 한다는 것은 바로 이 System을 어떻게 조작할 것이냐에 관한 내용인 것이다.

 

 

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t-domain VS s-domain

 

이런 system을 조작하기 위해서 우리는 Signal들에대해서 해석해봐야한다.

각 Component를 거치면서 input signal에서 output signal이 어떻게 전환되는지 해석을 해야하는데,

 

 우리는 어떤 물리계를 표현할때 

살고있는 물리세계가 Time Domain이기때문에,

그에대한 기술도 Time Domain에서 표현하는게 직관적이며, 다루기 편하다고 생각한다.

(시간에 따른 속도변화량, 운동량, 에너지 등을 생각해보면 된다)

 

 그런데, Signal을 제어하는 측면에서 본다면 이런 Time Domain Analysis가 되려 비효율적인 경우가 많다.

시스템을 모델링하여 세워놓은 Linear/ Nonlinear Equation을 Time Domain에서 풀자니

그 해답을 찾기가 너무 어려운경우가 많기 때문이다.

 

 

Laplace Transform은 이런 어려움을 해결해주는 가장 직관적이며 널리 알려진 방법이기 때문에,

제어에서 가장 기초가 된다.

 

 

 

○ Basic Idea of Laplace Transformation

 

 

 

 

Laplace Transform이란, 가장 쉽게말해서

t(time)-Domain에서 해석한 signal을 

s-Domain으로 전환하여 해석하는 것을 의미한다.

 

 

여기서 t는 실수값인 반면, s 는 허수값을 의미하는데,

이는 곧,  s가 Frequency Domain을 서술하고 있는 변수임을 의미한다.

 

 

 

 

 

 

Frequency Domain s에 대한 간단한 서술은 왼쪽 그림과 같다.

이부분에대한 자세한 내용은 여기서 따로 다루진 않겠다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

이렇게 t에서 s로 굳이 domain을 변환하는 이유는, 다시한번 언급하지만

t domain에서 답을 도출하기 어려웠던 Modeling 된 방정식들이, 

s domain에서 아주아주 풀기 쉬운 형태로 전환되기 때문이다.

 

 

 

이에대한 자세한 예시는 뒤에서 나오는 여러가지 모델링 방정식을 보면 바로 이해할 수 있을것이다.

 

우선, 가장 대표적인 예시인 MCK 시스템을 살펴보도록 하자.

(인터넷에 워낙 좋은 Reference들이 많으니 이에대한 자세한 기반 설명은 생략하도록 한다)

 

- Mechanical System

     Basic Variables:

      위치 y, 속도 y'(=v). 가속도 y''(=a)

      힘 F

       (+@ momentum)

      

     Basic Componets:

       질량 M, 스프링 K, 댐핑 b

 

- Electronic System

     Basic Variables:

      전류 i, 

      전하 q (integral i)

      전압 v

      

     Basic Componets:

       저항 R, Capacitance C, Inductance L  ...(얘네 한국말로 뭐라더라....)

Mech system: input r(t)에 대한 output y(t)

Electric System: input r(t)에대한 output v(t)

 

위의 두개의 식은 

2차 Nonlinear Equation이라는 점에서 서로 Equivalent하다. (이를 ODE.(Ordinart Differential Equation)라고 부르겠다)

input에 대한 output 모델링 방정식이 세워졌다.

시스템을 해석하기 위해서, 우리는 위의 nonlinear Equation을 풀어야한다.

 

이에대해서 time domain에서 풀려고 시도하면,

물론 mck예제는 공업수학에서 배운 여러가지 Solution을 잘 조합하면 풀긴 풀수 있겠다만....

더 복잡한 ODE가 주어지면 도저히 해결할 수 없는 상황이 발생하기도 하고,

자유롭게 핸들링하기 자체가 너무 어렵다.

(y = (e^at)*x 처럼 Solution자체가 그 결과가 맞다고 가정하고 들어가는 것들이기 때문인데..이에대한 자세한 언급은 안하겠다)

 

이를 좀더 잘 핸들링 하기위해서 앞서도 언급했지만

위의 ODE식을 t Domain에서 s Domain으로 전환해서 해석해야한다.

 

Mbk System에서, 

input y를 x로 바꿔서 표현하여 Laplace 식을 적용하면 다음과 같다

 

왼쪽은 input f에대한 output x의 ODE, 오른쪽은 그것의  Laplace변환을 적용한 Equation

(이런 Laplace Transform을 어떻게 하는것인지에 대한 이론적인 해석및 자세한 접근은 (2)에서 다뤄보도록 하겠다.)

 

여기서,

input  f(t) 는 F(s)로 전환,

output  x(t) 는 X(s)로 전환되었다.

 

즉, Transfer Function (output/input)을 다음과 같이 쓸 수 있다

Transfer Function, 줄여서  T.F라고 자주 쓴다

Transfer Function은 output signal/ input signal이고,

보통 한 시스템을 표현하는 Function이 된다.

 

TF를보면, 그 시스템의 component를 굳이 보지 않고도 signal output이 어떻게 나올지 예측할 수 있는것이다.

 

 

즉, input에대한 System의 output을 다음과같이 표현한다.

 

시스템의 Transfer Function G(s)를 정의할 수 있다면

위의 식에서 input signal x(t)를 Laplace 변환해서 넣음으로서 바로 Output Signal F(s)를 알 수있다.

 

그렇게 구한 output signal F(s)를 

Laplace Transform Table을 보고 다시 inverse Laplace Transform(s->t)해주면 

 

t내에서 지지고 볶아서 Solution을 구해내는 것 보다,

더 쉽고, 빠르고 정확하게 Solution을 도출할 수 있게된다.

 

 

 

 

여기까지가 Laplace Transform이 왜 필요한지에 대한 대략적인 설명이고,

이에대한 구체적인 이론적 배경들은 (2)에서 자세히 다뤄보고자 한다.